나를 위한 리만가설 정리

개요

 

- 리만가설 관련해서는 종종 듣고 읽고 이해했는데

- 이번에 "마이클 아티야" 경의 리만가설 증명여부가 화제가 되며, 이참에 개인적으로 정리해 봄

- 덧붙여서, 리만가설을 이야기할때 문제자체도 이해하기 쉽지 않다고는 하는데, 그건 아닌거 같음

 

참고링크

 

- NHK 다큐. 리만가설, 천재들의 150년의 도전: https://youtu.be/mA8e7tmKPKQ

- 간략 정리글: https://www.clien.net/service/board/park/12623066

 

 

Prime number, 소수란 무엇인가?

 

- 1과 자기자신으로만 나눠지는 수

- 11 은 1 또는 11로만 나눠지니깐 소수

- 26 은 1, 26 이외에 13으로도 나눠지니 소수가 아니다.

- 1과 소수를 제외한 수들은 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다.

- 왠지 숫자들의 원자, 최소 구성요소라 부를 수 있을것 같지 않은가?

 

 

< 출처: https://de.dreamstime.com/stock-abbildung-primzahlen-image81723212 >

 

 

연구자들

 

- 오일러와 가우스는 수학에서 매우 중요한 두 상수인  와   가 소수와 연관성이 있음을 알아냈다. 

 

레온하르트 오일러	소수들을 가지고 장난을 쳐보자 제곱하고 빼고 나누고, 다시 곱하고 했더니 원주율이 들어간 상수값이 나와버렸다!     < 출처: http://mdl.dongascience.com/article/view/M201601N008/3564 >
카를 프리드리히 가우스	자연상수 e   - e = 2.71828… - 탄젠트 곡선의 기울기에서 유도되는 실수, 상수이며 무리수이자 초월수 - 오일러의 수, 네이피어 상수로도 불린다.   소수정리   - 특정 숫자 x 보다 작거나 같은 소수의 개수는 = 파이(x) 라고 하자 - x가 무한히 커질때에 x/ln(x) 로 수렴한다. - 가우스는 증명까지는 못했고, 후세에 증명된다.

 

리만과 제타함수

 

가우스의 제자인 베른하르트 리만이 제타함수를 생각해낸다.

그냥 위에서 언급된 오일러의 수식이 제곱을 썼다면, 제곱대신 임의의 숫자 x를 넣어 x 제곱하게 한 것이다.

 

 

< 출처: https://ppt21.com/pb/pb.php?id=recommend&no=2241 >

 

 

그리고, 제로점

 

리만은 다음과 같이 말했다.

 

“제타 함수의 비 자명한 (non-trivial) 제로점들은 모두 일직선 (Critical Line) 상에 있다”

 

이것이 리만가설이다. 왜 가설인가?

지금까지 찾아낸 제로점은 모두 일직선상에 있지만 모든 제로점에 대해서는 증명해내지 못했기 때문이다.

참고: 제로점들 (실수부는 모두 1/2이며, 링크의 숫자는 허수부이다.): http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/zeros1

 

가로는 실수부, 세로는 허수부인 복소평면상의 점을 x 라고 하였을때에

 

1) trivial - 자명한 제로점

 

- 실수 -2, -4, -6, … 일 경우에 제타함수는 0이 된다.

 

2) non-trivial - 비자명한 제로점

 

- 실수는 1/2 이고, 허수는 링크 (http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/zeros1 ) 와 같을 경우 제타함수는 0이된다.

- 즉, 모든 비 자명한 제로점들은 실수부가 1/2 인 선, critical line 에 위치하게 된다.

 

 

< 출처: http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm >

 

 

다시, 연구자들

 

고드프리 하디 and 존 리틀우드

 

- 천재 콤비의 도전

- Critical line에 무수히 많은 비자명한 제로점이 존재한다는 것은 확인. 하지만 Critical line 바깥에 존재하는 지는 모르겠음

- 실패!

 

존 내시

 

- 실패하고 정신분열증

 

물리학자 (프리먼 다이슨 박사)와 수학자 (휴 몽고메리 박사)의 담소

 

- 종잡을 수 없는 소수의 분포와는 다르게, 제로점들의 분포는 나름 균등하게 분포되어 있음

- 원자핵의 에너지 분포와 제타함수 제로점들의 분포 수식이 똑같다!

 

즉, 수학의 소수와 관련한 값들의 분포와, 물리학에서 나온 에너지 분포의 수식이 같다는 것이다. 소오름

정말 소수는 우주의 신비와 관련이 있는 것일까?

 

수학	물리학

< 출처: https://www.clien.net/service/board/park/12623066 >